Esta sería mi versión de la traducción del enunciado del segundo problema de Olimpiada Matemática Internacional Hanoi 2007.
Se consideran cinco puntos, A, B, C, D y E, tales que ABCD es un paralelogramo y BCED un cuadrilátero cíclico (que tiene circunferencia circunscrita). Sea l una línea que pasa por A. Supongamos que l corta el interior del segmento DC en el punto F y a BC en el punto G. Supongamos también que EF = EG = EC. Se pide probar que l es la bisectriz del ángulo DAB.
Esta sería mi versión de la traducción del enunciado del primer problema de Olimpiada Matemática Internacional Hanoi 2007.
Se dan n números reales a1, a2, ... , an. Para cada i, con 1 <= i <= n, se define di = max{aj: 1 <= j <= i} - min{aj: 1 <= j <= n}, y sea d = max{di: 1 <= i <= n}.
a) Pruebe que, para cualquier conjunto de números reales x1 <= x2 <= ... <= xn, max{|xi-ai: 1 <= i <= n} >= d/2.
b) Pruebe que existen números reales x1 <= x2 <= ... <= xn que verifican la igualdad max{|xi-ai: 1 <= i <= n} = d/2.
No soy el primero en comentar esta noticia, ya ha salido en el blog del profe de mates, pero quería anunciar que ha finalizado la Olimpiada de Matemáticas Internacional 2007, en la que han participado equipos de 94 países (6 por país, excepto aquellos que por diversos motivos no pueden enviar a tantos), obteniendo España un modesto resultado (plaza 66), pese a lo cual hay que felicitar a todos los participantes, por enfrentarse con más o menos éxito a seis problemas muy difíciles.
De momento, la prueba no está disponible en castellano, aunque en breve la traduciré, si no lo hace la organización. Están, por ejemplo, aquí el primer día y aquí el segundo. Quien quiera compararlos a los de otros años, tiene bastante trabajo.
Mi impresión es que seguimos estando mal preparados en matemáticas, en general, y el que tengamos algunos compatriotas excepcionales que consiguen buenos resultados no es más que un espejismo. Hacen falta más horas y más convencimiento de que es importante incorporar conceptos matemáticos a la cultura general, que no sea tan habitual reconocerse ignorante en un tema tan importante. ¿Cuántos no oyen a menudo la excusa "es que no soy bueno en matemáticas"?
Lo dicho, enhorabuena a los participantes, y a preparar la iberoamericana.
Por cierto, el año que viene se organiza en Granada, España. A ver si hay también un buen equipo, además de lucirnos con la organización.
Si elegir un único candidato es complejo, elegir una representación lo es aún más.
Voy a exponer varias aproximaciones al problema para lograr un método realista y justo, aunque me temo que nunca llegue a usarse.
En primer lugar, hay que plantearse cuál es el objetivo de una elección proporcional. La idea es construir una representación proporcionada de la sociedad de electores, que pueda respaldar una decisión de la ejecutiva, o vetarla si es contraria a sus intereses. Por este motivo, en principio sería ventajoso que representara todas las tendencias, y que la mayor parte posible de electores se sientan representados. Introducir cuotas de entrada (menores que el equivalente en votos de uno de los puestos de representación) deforma la proporción decidida por los electores. Si el objetivo es que la representación sea "gobernable", esto es, garantizar que siempre puedan llegar a acuerdos, equivale de hecho a elegir a un único candidato y no debería ser considerado una elección proporcional.
Puesto que el objetivo es que esté representado la mayor parte de los votantes, el sistema propuesto trata de dar la opción de transferir el voto de un elector que no lo necesite a otro que sea del gusto del votante. En el sistema de papeletas por partido ya sucede eso en la actualidad. Cuando votas a un partido, el partido reparte fracciones de tu voto (o votos totales) entre varios de sus candidatos para conseguir el número suficiente de votos como para que sus candidatos ocupen esos escaños. Una vez llega al máximo de escaños posibles, sobra una cierta cantidad de votos (restos). En el caso de que un partido no consiga ningún escaño, todos sus votos forman un resto.
La situación ideal para el elector sería poder escoger el orden en que su voto va de un candidato a otro (listas abiertas), incluso aunque algunos de esos candidatos sean de distintos partidos. Esto ocasionaría dos problemas. El primero, sería en el recuento, ya que cada papeleta podría ser distinta (hay muchas formas distintas de ordenar una lista de candidatos que puede ser muy larga), y eso ocasionaría incluso una cierta falta de privacidad (los votos podrían ser identificables). Solventado este problema, quedaría el problema de elegir la representación, ya que depende en qué orden se transfieran votos de un candidato a otro (debido a que se consideren restos), sería elegido uno u otro.
El problema de la elección se podría solventar de una manera similar a la elección directa: se consideran todas las posibles elecciones (lista de candidatos ganadores) y se comparan una contra otra en función de la representatividad (número de votos que representan). Se entiende que para ocupar un escaño de n posibles son necesarios X/(n+1) votos, donde X es el número total de votantes. El exceso se considera resto, y pasa al siguiente candidato citado en la papeleta del votante. También se transfieren los votos de los no electos. Para beneficio de la comparación de dos repartos de escaños distintos, aquellos candidatos que estén en un reparto pero no en el otro no transfieren sus restos (pues podrían respaldar a rivales). Una vez completadas las comparaciones, si hay un reparto más representativo que los demás, es el ganador de condorcet, y, en caso contrario, se elige el conjunto de repartos del grupo minimal dominante (aquellos que derrotan a todos los demás) y se decide el ganador por el sistema de fijación visto anteriormente (en la elección directa).
Evidentemente, considerar todos los casos posibles puede volverse tremendamente largo, por lo que veremos que hay métodos bastante más sencillos que son equivalentes en la mayor parte de casos (es muy costoso diseñar un caso en el que difieran y sea necesario considerar todos los casos). El que creo más fácil de entender es ir tomando los escaños de forma creciente, fijando ya al candidato que lo ocupe porque venza en las comparativas con los demás.
El problema del recuento se puede solucionar de manera bastante similar a como se resuelve hoy en día, eligiendo una serie de listas presentadas por los partidos o por agrupaciones de electores, que sean las únicas listas que se puedan respaldar. En ese caso, bastaría contar el número de papeletas de cada tipo, y proceder al recuento.
¿Por qué un partido podría incluir en esa papeleta candidatos de otro? Por varios motivos. Por ejemplo, para buscar pactos preelectorales (los restos de ambos partidos bien podrían dar lugar a la ocupación de un escaño), o bien para evitar el voto útil, ya que muchos electores no votan a su partido favorito porque suponen que su voto se perderá. Aún así, un partido podría presentar distintos tipo de papeleta, que denoten distintas sensibilidades de sus votantes (facciones, o acuerdos con otros partidos pueden ser probados de esta forma).
Próximamente un ejemplo sencillo de este sistema.
Seguimos con la aplicación del método de comparación ponderada entre pares, para elección directa.
Vamos a retomar el ejemplo primero, pero con un pequeño cambio que fuerce la aparición de un ciclo. De nuevo, contamos con tres candidatos, Luis, Etelvina y José. De nuevo (por simplificar) hay tres grupos de electores que votan todos lo mismo.
El grupo homogéneo de electores, más numeroso, sitúan por delante a Luis, con 100 puntos, a Etelvina en segundo lugar, con 20, y por último a José (con 0). Este grupo está formado por 45 electores.
El segundo grupo, formado por 40 electores, prefieren a Etelvina, a la que otorgan 100 puntos, en segundo lugar ponen a José, con 90, y por último a Luis, con 0.
El tercer grupo lo forman 15 electores, que prefieren a José, con 100 puntos, después (aquí viene la novedad) a Luis, con 10 puntos, y por último a Etelvina, con 0.
En este caso, la tabla queda así:
| L | E | J | |
| L | 60 | 45 | |
| E | 40 | 85 | |
| J | 55 | 15 |
Como antes, vamos a restar las diagonales para marcar los vencedores y los perdedores en las comparaciones:
| L | E | J | |
| L | 20 | -10 | |
| E | -20 | 70 | |
| J | 10 | -70 |
Con esa modificación de preferencias, hemos conseguido crear un ciclo. Es similar a un empate en este método, y su relativa abundancia revela la dificultad de tomar decisiones en grupo. Si observas la tabla, verás que todos ellos pierden en al menos una comparación. Etelvina pierde si la comparamos con Luis (gracias a la inversión de voto que hemos hecho respecto al ejemplo anterior), Luis pierde frente a José, y José pierde frente a Etelvina. Pensando en esta posibilidad, tenemos una segunda tabla, en la que se han anotado los puntos que cada elector ha dado a cada participante.
En este caso, todos pertenecen al grupo ganador (grupo minimal dominante, según la jerga), por lo que no hay ningún eliminado por la primera tabla. Consultemos, pues, la segunda tabla. En esta tabla ya se han eliminado los valores "perdedores", que no influyen en el valor de las victorias.
| L | E | J | |
| L | 4150 | ||
| E | 1300 | ||
| J | 4950 |
El mayor de los valores de las victorias es el de José contra Luis, por lo que esta situación queda fijada (debemos observar la gran valoración que la mayoría de votantes tiene acerca de José). En segundo lugar queda, por escaso margen, la victoria de Luis sobre Etelvina, que por tanto queda detrás de José.
Así, en este caso, el ganador sería José, a pesar de contar con un escaso voto directo.
Corrección:
Parece ser que el método original que intentaba proponer no tiene en cuenta el peso relativo de los candidatos de aquellos votos que no los ponen en el orden ganador. Tal y como (erróneamente) había formulado el método, se decidía el orden de los candidatos según el tanteo promedio, con lo que hay una estrategia clara (desprestigio) frente a un competidor al que deseamos desbancar. Al poder evaluarle sólo aquellos que lo prefieran a otros candidatos desaparece esta motivación para los rivales.
He corregido las tablas.
Vamos a plantear un sencillo ejemplo del funcionamiento para entender algunos principios.
Partimos de tres candidatos, Luis, Etelvina y José. Supongamos que hay tres grupos de electores que votan todos lo mismo, por simplificar.
El grupo homogéneo de electores, más numeroso, sitúan por delante a Luis, a Etelvina en segundo lugar y por último a José. Este grupo está formado por 45 electores.
El segundo grupo, formado por 40 electores, prefieren a Etelvina, en segundo lugar ponen a José y por último a Luis.
El tercer grupo lo forman 15 electores, que prefieren a José, después a Etelvina y por último a Luis.
En este caso, como veremos, la baremación es irrelevante (por eso es el primero).
Concluído el recuento, vemos la siguiente tabla (tabla 1 o de preferencias):
| L | E | J | |
| L | 45 | 45 | |
| E | 55 | 85 | |
| J | 55 | 15 |
Para hacer mejor el análisis, restaremos los elementos simétricos respecto a la diagonal, de forma que aquellos que queden en negativo representan una derrota, y los positivos una victoria:
| L | E | J | |
| L | -10 | -10 | |
| E | 10 | 70 | |
| J | 10 | -70 |
Es evidente que Etelvina logra una victoria sobre ambos rivales (ganadora de Condorcet), a pesar de que es evidente que si estos candidatos se presentasen a unas elecciones en las que sólo se pueda elegir un candidato, el ganador sería Luis.
Pido disculpas por el retraso en publicar el material, si hay alguien esperando. Apenas tengo tiempo de escribir, y la baja participación en las elecciones, que pienso que es motivada por la falta de alternativas y el pasotismo de la gente, también desmotiva bastante.
En el sistema electoral en el que yo voto (España) prácticamente no existe la elección directa, y es triste, porque cuando un cargo tiene cierta importancia (tiene funciones que no han de ser supervisadas), debería ser elegido directamente, y no de forma interpuesta.
A pesar de existir en otros países, en pocos de ellos siguen un sistema razonable, y es muy sensible al número de candidatos, a la vez que no permite la evolución de candidatos nuevos sin un apoyo del sistema establecido (partidos grandes, grupos de presión...), y suele castigar muy duramente escisiones de una misma idea política (matices).
Una variación del sistema propuesto por Condorcet hace muchos años es una manera relativamente justa de elegir un candidato único, con permiso de la (aparente) paradoja de Arrow (también llamada de Condorcet), que por cierto afecta también (mucho más) a los demás sistemas electorales.
La idea es no votar un único candidato, si no un orden de preferencia. El que pueda haber o no empates es irrelevante (debe estar contemplado en la normativa). Además, el orden de preferencia debe estar baremado (el baremo se usa para deshacer ciclos, los verdaderos protagonistas de la paradoja de Arrow). El baremo puede ser de 0 a 100. Dos personas empatadas (si lo permite la normativa) han de tener el mismo baremo, y si una persona está por delante de otra, su puntuación ha de ser superior. El cómputo de los votos se realiza usando dos tablas de doble entrada, en el que cada fila representa, al igual que cada columna, un candidato.
De cada voto se obtiene una preferencia entre cada par de candidatos. Cuando un candidato a está por delante de otro b en uno de los votos, se añade un punto en la casilla horizontal a de la columna b en la tabla 1, y se añade la diferencia de baremación en la misma casilla de la tabla 2.
Como se observará, el recuento es mucho más largo que contar sólo el candidato más votado, pero es la manera más eficaz para despejar enmascaramientos de un candidato por otro.
Cuando se acaba el recuento tenemos en la tabla 1 una comparativa de cada candidato con todos los demás. A un lado de la diagonal se ve en cuántas papeletas es favorito sobre el otro, y en su simétrico aquellas en las que sucede lo contrario. En este caso, se pueden dar dos circunstancias, en función del número de candidatos y de la forma en que se hayan manifestado los votantes.
El caso más sencillo sucede cuando uno de los candidatos es preferido a todos los demás (horizontal mayor estrictamente a la vertical). En ese caso (ganador de Condorcet) es el que elegimos, renunciando a mirar siquiera la segunda tabla. Si tenemos un número bajo de candidatos es muy probable que se dé esta situación, aunque la probabilidad no tienda (al parecer, es muy difícil estimar el comportamiento electoral de masas ante un sistema apenas experimentado) a cero cuando aumenta el número de votantes, como los empates en los votos de apoyo a un único candidato. La cosa se complica cuando no hay un ganador de Condorcet. En ese caso, tenemos un conjunto de posibles ganadores que ganan cualquier comparación con un candidato de fuera del conjunto. Es fácil encontrar tal conjunto en la tabla, hallando el menor perdedor (nadie es un ganador absoluto) y marcando los que le superan, y los que superan a éstos, hasta que nadie de los no marcados los supera.
Para romper los ciclos se recurre a la tabla 2. En ella se puede leer cuánto valen (en puntos subjetivos) las victorias y las derrotas, restando cada valor de su simétrico respecto a la diagonal. Hay varios sistemas de evaluar esta tabla, ninguna de ellas cumple la condición fuerte de Arrow, que votos a terceros no influyan en la valoración entre dos, pero la influencia se puede llegar a disminuir razonablemente. El sistema de desempate más sencillo consiste en el siguiente: Se busca el valor más alto y se fija la superioridad de un candidato frente a otro. Después se buscan los siguientes, por orden riguroso. Si no entran en contradicción con lo que se ha fijado anteriormente, se fija la posición de un candidato sobre otro, pero si entra en contradicción (produce un ciclo no transitivo del tipo a mejor que b, b mejor que c, c mejor que a), se desprecia este valor (se invierte la preferencia, por ser más débil que las anteriores).
Cuando se acaba de ubicar a los candidatos, el que queda por delante de todos es, evidentemente, el primero.
Fuente principal (en inglés): Métodos de elección
