Esta sería mi versión de la traducción del enunciado del segundo problema de Olimpiada Matemática Internacional Hanoi 2007.
Se consideran cinco puntos, A, B, C, D y E, tales que ABCD es un paralelogramo y BCED un cuadrilátero cíclico (que tiene circunferencia circunscrita). Sea l una línea que pasa por A. Supongamos que l corta el interior del segmento DC en el punto F y a BC en el punto G. Supongamos también que EF = EG = EC. Se pide probar que l es la bisectriz del ángulo DAB.
Esta sería mi versión de la traducción del enunciado del primer problema de Olimpiada Matemática Internacional Hanoi 2007.
Se dan n números reales a1, a2, ... , an. Para cada i, con 1 <= i <= n, se define di = max{aj: 1 <= j <= i} - min{aj: 1 <= j <= n}, y sea d = max{di: 1 <= i <= n}.
a) Pruebe que, para cualquier conjunto de números reales x1 <= x2 <= ... <= xn, max{|xi-ai: 1 <= i <= n} >= d/2.
b) Pruebe que existen números reales x1 <= x2 <= ... <= xn que verifican la igualdad max{|xi-ai: 1 <= i <= n} = d/2.
No soy el primero en comentar esta noticia, ya ha salido en el blog del profe de mates, pero quería anunciar que ha finalizado la Olimpiada de Matemáticas Internacional 2007, en la que han participado equipos de 94 países (6 por país, excepto aquellos que por diversos motivos no pueden enviar a tantos), obteniendo España un modesto resultado (plaza 66), pese a lo cual hay que felicitar a todos los participantes, por enfrentarse con más o menos éxito a seis problemas muy difíciles.
De momento, la prueba no está disponible en castellano, aunque en breve la traduciré, si no lo hace la organización. Están, por ejemplo, aquí el primer día y aquí el segundo. Quien quiera compararlos a los de otros años, tiene bastante trabajo.
Mi impresión es que seguimos estando mal preparados en matemáticas, en general, y el que tengamos algunos compatriotas excepcionales que consiguen buenos resultados no es más que un espejismo. Hacen falta más horas y más convencimiento de que es importante incorporar conceptos matemáticos a la cultura general, que no sea tan habitual reconocerse ignorante en un tema tan importante. ¿Cuántos no oyen a menudo la excusa "es que no soy bueno en matemáticas"?
Lo dicho, enhorabuena a los participantes, y a preparar la iberoamericana.
Por cierto, el año que viene se organiza en Granada, España. A ver si hay también un buen equipo, además de lucirnos con la organización.
