Primer problema Olimpiada 2007

Esta sería mi versión de la traducción del enunciado del primer problema de Olimpiada Matemática Internacional Hanoi 2007.

Se dan n números reales a₁, a₂, ... , a_n. Para cada i, con 1 <= i <= n, se define d_i = max{a_j: 1 <= j <= i} - min{a_j: 1 <= j <= n}, y sea d = max{d_i: 1 <= i <= n}.

a) Pruebe que, para cualquier conjunto de números reales x₁ <= x₂ <= ... <= x_n, max{|x_i-a_i: 1 <= i <= n} >= d/2.

b) Pruebe que existen números reales x₁ <= x₂ <= ... <= x_n que verifican la igualdad max{|x_i-a_i: 1 <= i <= n} = d/2.